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Sage als Taschenrechner im Gymnasium
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.. MODULEAUTHOR:: Beni Keller

Einleitung
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An wen richtet sich diese Anleitung?
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Diese Anleitung richtet sich an Lehrpersonen, welche an Gymnasien im deutschsprachigen
Raum unterrichten. Das Ziel ist, eine Anleitung zur Verfügung zu stellen, welche erklärt,
wie das Computer-Algebra-System Sage anstelle der an Gymnasien häufig
eingesetzten CAS Taschenrechner verwendet werden kann.

Als grober Leitfaden dienen Lehrpläne von Schweizer Gymnasien. Diese unterscheiden
sich nicht stark von Lehrplänen in anderen deutschsprachigen Ländern. Daher wird
diese Anleitung für alle deutschsprachigen Mathematiklehrpersonen nützliche Informationen
enthalten.

Die bestehende englische Dokumentation von Sage ist sehr ausführlich und auf deutsch existiert
ein gutes Tutorial für den Einstieg in Sage [#tutorial]_. Es hat sich aber als schwer
herausgestellt, die für den gymnasialen Unterricht relevanten Funktionen zu finden,
da oft Fälle beschrieben werden, wie sie typischerweise in Hochschulmathematik anzutreffen sind.

Daher soll diese Anleitung als eigenständige Dokumentation der Funktionen von Sage
aus Sicht einer Gymnasiallehrperson dienen. Dieses Dokument soll die Benutzung von Sage
für Gymnasiallehrpersonen vereinfachen, ohne Vorkenntnisse von Sage oder der
Programmiersprache Python vorauszusetzen.

Was ist Sage?
-------------

Sage ist ein quelloffenes Computer-Algebra-System, welches weltweit von
hunderten Studenten und Forschern an verschiedenen Universitäten entwickelt wird, aber auch Privatpersonen und Schüler haben Beiträge geleistet.
Es wurde und wird noch immer in vielen mathematischen Arbeiten
benutzt und im Zuge dessen auch immer weiterentwickelt. Daher ist es sehr mächtig
und löst komplexe Probleme in vielen, sehr spezialisierten Teilgebieten der
Mathematik.

Trotzdem ist Sage auch als Computer-Algebra-System für an Gymnasien
unterrichtete Mathematik gut geeignet. Es bietet einen grossen Funktionsumfang
und kann kostenlos an Schulen eingesetzt werden und so teure Taschenrechner
und Software ersetzen.

Die Tatsache, dass Sage quelloffen und kostenlos verfügbar ist, macht es speziell
geeignet für Schulen.  Das System kann von Schülern und Schulen problemlos
auf allen Rechnern installiert werden, ohne dass man sich um Lizenzkosten und
die Anzahl verfügbarer Lizenzen kümmern muss. Es kann auch verändert und angepasst
werden und jede Person kann helfen, es weiter zu entwickeln.

Sage ist zum grossen Teil in der Programmiersprache Python geschrieben und kann auch
in Python programmiert werden. Diese Sprache wird von Schulen weltweit in
Einführungskursen ins Programmieren benutzt. Diese Tatsache macht Sage umso
geeigneter, um in Schulen - auch im Zusammenhang mit einer Einführung ins
Programmieren - eingesetzt zu werden.


Wo bekomme ich Sage?
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Die Onlineversion dieser Anleitung bietet eine erste Möglichkeit, die
Beispiele direkt in Sage auszuprobieren und abzuändern, ohne selbst
Sage installiert zu haben.

Sage kann aber auch lokal installiert oder online ausprobiert werden. Auf der
Sage-Webseite findet man weitere Informationen dazu:

http://sagemath.org/

Hilfe abfragen
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Bevor wir beginnen die für den gymnasialen (Mathematik-) Unterricht relevanten
Funktionen von Sage ausführlich zu betrachten, soll hier erklärt werden,
wie man für eine bestimmte Funktion die Dokumentation direkt in Sage abrufen
kann. Dies geschieht durch einfaches Anhängen eines Fragezeichens (?) an den Befehl,
über den man mehr wissen möchte.

Wenn wir zum Beispiel wissen möchten, wie die Funktion ``limit`` eingesetzt
wird, geben wir folgendes ein::

    sage: limit?                                                    # Not tested

Sage gibt uns anstelle einer Evaluation der Funktion die komplette Hilfe für die
entsprechende Funktion zurück. Falls wir noch tiefer ins Innere von Sage schauen
möchten und sogar den Sourcecode der Funktion anschauen möchten, hängen wir ein
zweites Fragezeichen an::

    sage: limit??                                                   # Not tested

gibt uns den Python-Code der Funktion ``limit`` zurück. Dies ist natürlich
nur möglich, weil Sage ein quelloffenes System ist.


Allgemeine Funktionen
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Grundoperationen
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In Sage werden die Grundoperationen wie vielerorts üblich in der Infix-Notation
ausgedrückt. Dies bedeutet, dass das Operationszeichen wie gewohnt zwischen
den Operanden steht. Es stehen
die folgenden Grundoperationen zur Verfügung:

=========  ===================================
Operation  Bedeutung
=========  ===================================
``+``      Addition
``-``      Subtraktion / negatives Vorzeichen
``*``      Multiplikation
``/``      Division (auch für Bruchterme)
``^``      Potenz
=========  ===================================

Es gelten die üblichen Regeln zur Operatorassoziativität: Höchste Priorität
haben Potenzen, anschliessend werden Punktoperationen (``\`` und ``*``)
vor Strichoperationen (``+`` und ``-``) ausgeführt::

    sage: 12 - 2*3^2
    -6
    sage: 12 - (2*(3^2))
    -6
    sage: 3^2 -1
    8

Unerwarteterweise führt Sage mehrere Potenzen hintereinander nicht von
links nach rechts aus::

    sage: 3^3^3
    7625597484987
    sage: 3^(3^3)
    7625597484987

Wie üblich können Klammern ``()`` verwendet werden, um die Gruppierung der
Operationen zu verändern::

    sage: -3^2
    -9
    sage: (-3)^2
    9
    sage: (12 - 2)*3^(3-1)
    90
    sage: (3^3)^3
    19683

Weiter gibt es auch die Möglichkeit, eine ganzzahlige Division auszuführen:

=========  ===================================
Operation  Bedeutung
=========  ===================================
``//``     Ganzzahliger Anteil einer Division
``%``      Divisionsrest
=========  ===================================

So ist zum Beispiel `\frac{17}{3} = 5*3 + 2`::

    sage: 17//3
    5
    sage: 17%3
    2

Bei negativen Zahlen verhält sich die Division nicht wunschgemäss,
falls man damit den ganzzahligen Anteil und den Rest bestimmen möchte::

    sage: -7//2
    -4
    sage: -7%2
    1

Wurzeln
-------

Sage kennt nur für die Quadratwurzel eine spezielle Funktion, nämlich ``sqrt()``. Alle anderen
Wurzeln müssen als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben werden. Quadratwurzeln werden
wie folgt berechnet::

    sage: sqrt(9)
    3
    sage: sqrt(2)
    sqrt(2)

Wurzeln werden so weit wie möglich vereinfacht, aber nicht numerisch evaluiert, solange dies
nicht explizit gefordert wird (mehr dazu weiter unten)::

    sage: sqrt(18)
    3*sqrt(2)

Natürlich kennt Sage auch komplexe Zahlen und evaluiert die Wurzel aus `-1`
als eine imaginäre Einheit::

    sage: sqrt(-1)
    I

Für die `n`-te Wurzel gibt es in Sage keine spezielle Funktion, da wir die
`n`-te Wuzel mit

.. math:: \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}

ausdrücken können. So berechnen wir zum Beispiel `\sqrt[3]{64}` mit::

    sage: 64^(1/3)
    4

Numerische Evaluation
---------------------

Als Computer-Algebra-System rechnet Sage grundsätzlich immer symbolisch.
Dies bedeutet, dass es zwar Terme vereinfacht, aber immer ein exaktes Ergebnis
angibt. Hierfür gibt es zwei Ausnahmen. Zum einen können wir eine Kommazahl in der
Rechnung benutzen. Dann wird der Teil, welcher die Kommazahl enthält, numerisch evaluiert. Zum anderen können wir eine numerische Evaluation explizit fordern.

Das folgende Beispiel zeigt, dass das Benutzen einer Kommazahl automatisch zu numerischem
Rechnen führt. Dies selbst, wenn die Kommazahl eigentlich eine ganze Zahl repräsentiert::

    sage: sqrt(2.0)
    1.41421356237310

Dies funktioniert aber nur, wenn der Term selbst keine weitere
Funktion oder symbolische Konstante enthält. Falls dies der Fall ist, wird nur ein Teil
des Terms numerisch ausgewertet::

    sage: sqrt(pi/4.0)
    0.500000000000000*sqrt(pi)
    sage: sqrt(2)/1.41
    0.709219858156028*sqrt(2)

Falls wir einen gesamten Term numerisch evaluieren möchten, benutzen wir die
Funktion ``n()``. Wird sie ohne Argument aufgerufen, so führt sie die Evaluation
mit einer vordefinierten Genauigkeit durch::

    sage: sqrt(2).n()
    1.41421356237310

Falls wir mehr oder weniger Stellen benötigen, können wir die Option ``digits`` benutzen.
Sie gibt aber nicht die Anzahl Nachkommastellen sondern die Anzahl Stellen insgesamt an::

    sage: sqrt(2).n(digits=50)
    1.4142135623730950488016887242096980785696718753769
    sage: sqrt(10025).n(digits=5)
    100.12


Konstanten
----------
Sage kennt unter anderem die folgenden Konstanten:

======   ========  ================
``pi``   `\pi`     Kreiszahl
``e``    `e`       Eulersche Zahl
``I``    `\imath`  Imaginäre Einheit
======   ========  ================

Diese können auch numerisch ausgewertet werden::

    sage: pi.n()
    3.14159265358979
    sage: e.n()
    2.71828182845905


Variablen
---------

In Sage können sowohl Werte als auch Terme in einer Variable gespeichert werden. Als
Variablenname ist alles zulässig, was auch in Python zulässig ist. Dies heisst
insbesondere:

* Variablennamen müssen mit einem Buchstaben oder einem Unterstrich (``_``)
  beginnen.
* Variablennamen dürfen nur Buchstaben, Zahlen und Unterstriche enthalten.
* Variablennamen unterscheiden Gross- und Kleinschreibung.
* Es dürfen keine in Python reservierten Worte benutzt werden. [#keywords]_

Als Zuordnungsoperator wird das Zeichen ``=`` benutzt.
Wir können so zum Beispiel das Ergebnis einer Rechnung als Variable speichern::

    sage: ergebnis = sin(pi/4)*2

Im folgenden werden wir auch lernen, wie man Terme speichern kann. In einem
späteren Abschnitt ist auch beschrieben, wie Funktionen gespeichert werden.

Wie jedes Computer-Algebra-System kann Sage symbolisch rechnen. Es muss
aber jeweils festgelegt werden, welche Buchstaben oder Zeichenketten
als Parameter benutzt werden sollen.

Dies geschieht mit dem Befehl ``var``. Ihm wird als Argument eine
Zeichenkette übergeben, welche die durch Kommas getrennten Variablennamen
enthält. (Zeichenketten in Sage respektive Python werden mit ``'`` oder ``"``
gekennzeichnet.)

Das folgende Beispiel definiert `x`, `y` und `z` als Variablen::

    sage: var('x,y,z')
    (x, y, z)


Arithmetik und Algebra
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Terme
-----

Sage kann mit symbolischen Ausdrücken rechnen. Ein Ausdruck wird als symbolischer
Ausdruck betrachtet, sobald eine Variable darin vorkommt.  Wir benutzen in den
folgenden Beispielen die Funktion ``type`` um herauszufinden, von welchem Typ
ein Ausdruck ist. Ein einfacher Term mit einer Variable ist ein symbolischer
Ausdruck::

    sage: var('x')
    x
    sage: type(x*2)
    <type 'sage.symbolic.expression.Expression'>

Auch eine Funktion (siehe unten) ist ein symbolischer Ausdruck::

    sage: f(x) = x + 1
    sage: type(f)
    <type 'sage.symbolic.expression.Expression'>

Benutzen wir jedoch eine Variable, um etwas zu speichern und nicht als symbolischen
Parameter, so ist ein Ausdruck, welcher sie enthält, nicht mehr ein symbolischer
Ausdruck::

    sage: x = 3
    sage: type(x*2)
    <type 'sage.rings.integer.Integer'>

Terme können auch in Variablen gespeichert werden. Dazu benutzen wir
wie bei Zahlenwerten den Operator ``=`` für die Zuordnung::

    sage: var('x')
    x
    sage: term = 3*(x + 1)^2
    sage: term
    3*(x + 1)^2

Diese Terme können wir an einer bestimmten Stelle auswerten, oder, anders
gesagt, für eine Variable einen Wert einsetzen. Dies geschieht wie folgt::

    sage: var('x, a')
    (x, a)
    sage: term = 3*(x + 1)^a
    sage: term
    3*(x + 1)^a
    sage: term(a = 2)
    3*(x + 1)^2
    sage: term(x = 2, a = 2)
    27

Variablen können nicht nur durch Zahlen sondern auch durch symbolische
Ausdrücke substituiert werden. Wenn wir im obigen Beispiel
`x` mit `a^2` substituieren möchten, geht dies wie erwartet::

    sage: var('x, a')
    (x, a)
    sage: term = 3*(x + 1)^a
    sage: term(x = a^2)
    3*(a^2 + 1)^a


Vereinfachen
~~~~~~~~~~~~

Beim symbolischen Rechnen mit Termen vereinfacht Sage diese nach dem
Eingeben. So wird zum Beispiel der Term `x\cdot x + x^2` vereinfacht::

    sage: x*x + x^2
    2*x^2

Komplexere Vereinfachungen werden nicht automatisch ausgeführt. So weiss
Sage zwar, dass `\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1`. Wenn wir den Term aber
so eingeben, wird er nicht vereinfacht::

    sage: sin(x)^2 + cos(x)^2
    cos(x)^2 + sin(x)^2

Falls wir alle Terme so weit wie möglich vereinfachen möchten, erreichen
wir dies mit der ``simplify_full()`` Funktion::

    sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
    1

Dabei werden auch Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen eingesetzt::

    sage: var('x, y, z')
    (x, y, z)
    sage: sin(x + y).simplify_full()
    cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)
    sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
    1

Mit der verwandten Funktion ``simplify_real()`` werden auch Additionstheoreme
bei Logarithmen angewandt, die nur mit reellen Werten erlaubt sind::

    sage: x, y = var('x, y')
    sage: (log(x) + log(y)).simplify_real()
    log(x*y)

Faktorisieren und ausmultiplizieren
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Mit dem Befehl ``expand()`` kann ein Term, der aus mehreren polynomialen
Faktoren besteht, ausmultipliziert werden. Umgekehrt wird ``factor()``
verwendet, um einen Term so weit als möglich zu faktorisieren::

    sage: ((x + 1)*(2*x - 4)).expand()
    2*x^2 - 2*x - 4

    sage: (2*x^2 - 2*x - 4).factor()
    2*(x + 1)*(x - 2)

Gleichungen
-----------
In Sage können sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen formuliert und
ausgewertet werden. Dazu verwendet man dieselben boolschen Operatoren
wie in Python:

======  ===================
Symbol  Bedeutung
======  ===================
``==``  Gleichheit
``>=``  Grösser oder gleich
``<=``  Kleiner oder gleich
``>``   Grösser als
``<``   Kleiner als
``!=``  Unleichheit
======  ===================

Symbolisch Lösen
~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Falls möglich löst Sage Gleichungen symbolisch. Falls dies nicht gelingen
sollte, bleibt einem noch das numerische Lösen von Gleichungen, welches
weiter unten beschrieben wird.

Für symbolisches Lösen von Gleichungen steht der Befehl ``solve()`` zur
Verfügung. Dieser benötigt zwei Argumente: Zum einen die Gleichung, welche
gelöst werden soll und zum anderen die Variable, nach welcher die Gleichung
aufgelöst werden soll::

    sage: solve(x^2 == 3, x)
    [x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]

    sage: solve(x^3 - x^2 + x == 1, x)
    [x == -I, x == I, x == 1]

Oft wird uns Sage auch komplexe Lösungen angeben. Um dies zu verhindern, können wir
Sage mit dem Befehl ``assume()`` angeben, dass eine Variable nur mit einer reellen Zahl
besetzt werden kann::

    sage: var('x')
    x
    sage: assume(x, 'real')
    sage: solve(x^3 - x^2 + x == 1, x)
    [x == 1]

Achtung, solche Annahmen sollten anschliessend mit ``forget()`` wieder rückgängig gemacht
werden. Ansonsten gelten sie für folgende Rechnungen noch immer.


Lösungen weiterverwenden
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Es stellt sich das Problem, dass wir nun
zwei Gleichungen als Ergebnis erhalten und die Lösung nicht
direkt verwenden können, um weiterzurechnen.

Wir erhalten von ``solve()`` immer eine Liste von Lösungen. Diese sind intern ab 0 nummeriert.
Die erste Lösung ist also die Lösung 0, die zweite die Lösung 1 usw. Wir können nun einzelne
Lösungen aus der Liste mit ihrer Nummer herausholen::

    sage: solve(x^2 == 3, x)
    [x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]
    sage: solve(x^2 == 3, x)[0]
    x == -sqrt(3)
    sage: solve(x^2 == 3, x)[1]
    x == sqrt(3)

Die Lösungen werden uns aber wiederum als Gleichung angegeben und nicht als numerischen Wert. Daher können
wir das so erhaltene Ergebnis nicht in einer Variable abspeichern und weiterverwenden.  Um wirklich
die Lösung für `x` aus dem Term zu extrahieren, können wir die Funktion ``rhs()`` benutzen, was für "Right
Hand Side" steht und genau das tut, was der Name sagt: Es gibt uns die rechte Seite der Gleichung zurück. Dies benutzen
wir wie folgt, um den Wert für `x` aus dem Ergebnis zu extrahieren::

    sage: (x == -sqrt(3)).rhs()
    -sqrt(3)

    sage: solve(x^2 == 3, x)[0].rhs()
    -sqrt(3)

Nun können wir den Wert in einer Variablen speichern oder numerisch auswerten. (Oder beides, wie uns
das folgende Beispiel vorführt)::

    sage: erg = solve(x^2 == 3, x)[0].rhs()
    sage: erg
    -sqrt(3)
    sage: erg.n()
    -1.73205080756888

Numerisch Lösen
~~~~~~~~~~~~~~~

Sage kann gewisse Gleichungen nicht symbolisch lösen und gibt uns
daher eine leere Lösungsliste zurück, auch wenn die Gleichung eigentlich
eine Lösung besitzt. So findet Sage zum Beispiel für die Gleichung

.. math:: \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = 0

keine sinnvolle, explizite Lösung::

    sage: solve(2/x^(1/2) - 1/(x^2) == 0, x)
    [x == -sqrt(1/2)*x^(1/4), x == sqrt(1/2)*x^(1/4)]

Mit der Option ``explicit_solutions`` können wir Sage zwingen, nur explizite
Lösungen anzugeben. Im oben aufgezeigten Fall erhalten wir dann eine
leere Liste von Lösungen::

    sage: solve(2/x^(1/2) - 1/(x^2) == 0, x, explicit_solutions=True)
    []

Mit Hilfe von ``find_root()`` können wir Nullstellen numerisch berechnen.
Dafür müssen wir schon eine Ahnung haben, in welchem Bereich wir nach der
Nullstelle suchen. Wissen wir zum Beispiel, dass eine Funktion `f(x)` eine Nullstelle
auf dem Intervall `[a, b]` hat, finden wir eine numerische Approximation dieser Nullstelle
mit ``find_root(f == 0, a, b)``. Nun wollen wir also die Lösung der obigen Gleichung finden::

  sage: f(x) = 2/x^(1/2) - 1/(x^2)
  sage: find_root(f, 0.5, 5)
  0.6299605249475858

Funktionen
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Wie oben gesehen, sind Funktionen in Sage auch symbolische Ausdrücke.
Sie unterscheiden sich daher auch von Funktionen in Python oder einer
anderen Programmiersprache. Es wird die Schreibweise

.. math:: f(x) = x^3 + x

für Funktionen benutzt. Dies ist ein Speichervorgang, welcher in Sage
keinen Rückgabewert hat::

    sage: f(x) = x^3 + x

Nun sind sowohl `f` als auch `f(x)` symbolische Ausdrücke mit
zwei verschiedenen Bedeutungen, wie das folgende Beispiel
deutlich macht::

    sage: f(x) = x^3 + x
    sage: f
    x |--> x^3 + x
    sage: f(x)
    x^3 + x


Stückweise definierte Funktionen
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Mit der Funktion ``Piecewise()`` können wir in Sage auch mit stückweise definierten
Funktionen arbeiten. Die Syntax für den Befehl ist jedoch etwas umständlich. Wollen
wir zum Beispiel die Funktion

.. math:: f(x)  = \begin{cases} -x^2 & \text{für }  x \le 0 \\ x^2 & \text{für }  x > 0 \end{cases}

definieren, so müssen wir der Funktion eine Liste von Listen übergeben, wo jede einzelne Liste aus einem
Tupel besteht, welches das Interval des Definitionsbereichs angibt, also z.B. ``(-oo, 0)`` für das Interval
`[-\infty, 0]` und einer für das Interval geltende Funktionsgleichung. Als letztes Argument muss angegeben werden,
welche Variable durch die Funktion gebunden werden soll::

    sage: f = piecewise([[(-oo,0), -x^2],[(0,oo), x^2]], var=x)
    sage: f(3)
    9
    sage: f(-3)
    -9

Die Zeichen ``-oo`` und ``oo`` werden in Sage für `-\infty`, respektive `\infty` benutzt. Mehr dazu wird im Abschnitt
über das Berechnen von Grenzwerten erklärt.


Partialbruchzerlegung
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Vor allem in der Analysis wird im Gymnasium teilweise die Partialbruchzerlegung benutzt, um die Stammfunktion
einer rationalen Funktion zu finden. Diese Zerlegung kann auch mit Sage gemacht werden. Wenn wir die Funktion

.. math:: f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}

betrachten, kann diese als Summe von zwei Brüchen geschrieben werden:

.. math:: f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{\frac{1}{2}}{x-1} - \frac{\frac{1}{2}}{x+1}

Diese Zerlegung findet ``partial_fraction()`` in Sage für uns::

    sage: f(x) = 1/(x^2 -1)
    sage: f.partial_fraction()
    x |--> -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

Funktions-Graphen darstellen
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Im Folgenden werden die Grundlagen für das Darstellen von Funktionsgraphen
aufgezeigt. Der ``plot()`` Befehl kann auch für das Darstellen von Vektoren
oder Daten aus dem Fachbereich Stochastik benutzt werden. Dies wird aber im
entsprechenden Abschnitt beschrieben.

Wir können den Graphen der Funktion `f(x)=x^2` mit dem folgenden Befehl
darstellen::

    sage: f(x) = x^2
    sage: plot(f)
    Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Sage versucht einen vernünftigen Bereich von x-Werten zu finden, um den Funktionsgraphen
darzustellen. Falls dies nicht dem gewünschten Bereich entspricht, können wir diesen mit
den Optionen ``xmin`` und ``xmax`` für die x-Achse, respektive ``ymin`` und ``ymax`` für
die y-Achse den zu darstellenden Bereich festlegen::

    sage: f(x) = x^2
    sage: plot(f, xmin=-12, xmax=12, ymin=-10, ymax=150)
    Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Wollen wir mehrere Funktionsgraphen im selben Koordinatensystem darstellen, können wir
die beiden Plots einzeln erstellen und in Variabeln abspeichern. Dies verhindert, dass
sie einzeln angezeigt werden. Anschliessend verwenden wir den Plot-Befehl erneut um beide
zusammen anzuzeigen. Die Plots werden mit einem ``+``-Zeichen zusammengefügt. Mit der Option
``color`` können wir die Farbe der einzelnen Graphen festlegen::

    sage: graph1 = plot(x^2 + 1, color="green", xmin = 0, xmax = 3)
    sage: graph2 = plot(e^x, color="red", xmin = 0, xmax = 3)
    sage: plot(graph1 + graph2, )
    Graphics object consisting of 2 graphics primitives

Optionen, welche für beide Plots gültig sind (z.B. ``xmin`` oder ``xmax``) müssen auch bei
beiden Plots angegeben werden, da sonst Sage sonst beim Graph, wo es nicht angegeben wird wie
üblich versucht, vernünftige Standartwerte auszuwählen.

Polstellen darstellen
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Wollen wir eine Funktion mit Polstellen darstellen, zum Beispiel die Funktion

.. math:: f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}

wird Sage uns keinen vernünfigen y-Wertebereich auswählen. Da die Funktionswerte an der
Polstelle gegen Unendlich streben, nimmt Sage an, dass wir an sehr grossen oder sehr kleinen
y-Werten interessiert sind und wählt die Auflösung der y-Achse entsprechend. Falls es sich
um eine ungerade Polstelle handelt, bei der die y-Werte vom Negativen ins Positive wechseln
oder umgekehrt, verbindet Sage den positiven und den negativen Teil des Graphen mit einer unerwünschten,
senkrechten Linie an der Polstelle.

Wie wir oben gelernt haben, können wir den Wertebereich einfach einschränken::

    sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
    sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10)
    Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Nun haben wir nur noch das Problem, dass der Graph zwei unerwünschte senkrechte Linien an den
Polstellen hat. Dies kann mit der Option ``detect_poles`` verhindert werden. Falls wir die
Option auf ``True`` stellen, werden die Linien nicht mehr dargestellt::

    sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
    sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10, detect_poles=True)
    Graphics object consisting of 4 graphics primitives

Möchten wir hingegen die vertikalen Asymptoten trotzdem darstellen, aber nicht in derselben
Farbe wie den Funktionsgraphen, können wir die Option ``detect_poles`` auf ``"show"`` stellen::

    sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
    sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10, detect_poles="show")
    Graphics object consisting of 6 graphics primitives

Logarithmen
===========

Im Folgenden wird beschrieben, wie in Sage Logarithmen benutzt werden können. Grundsätzlich
ist es so, dass in Sage der 10er Logarithmus keine spezielle Bedeutung hat. Fall bei einer
Logarithmusfunktion die Basis nicht angegeben wird, geht Sage immer vom natürlichen Logarithmus aus.

Wenn wir also zum Beispiel `\log(10)` berechnen, wird Sage nichts tun, da sich dieser Term nicht
auf eine offensichtliche Art vereinfachen lässt. Berechnen wir jedoch `\log(e^5)`, wird uns Sage die
für den natürlichen Logarithmus zu erwartende Antwort geben, nämlich `5`::

    sage: log(10)
    log(10)

    sage: log(e^5)
    5

Möchten wir die Logarithmusfunktion zu einer anderen Basis berechnen, müssen wir der ``log()`` Funktion
als zweites Argument die Basis übergeben. Wollen wir zum Beispiel `\log_{10}(10^5)` berechnen, geben wir
dies wie folgt ein::

     sage: log(10^5, 10)
     5

     sage: log(8,2)
     3


Man kann auch die Logarithmengesetze benutzen, um Terme zu zerlegen.
So können wir zum Beispiel Sage die Zerlegung

.. math:: \log(10^5) = 5\log(2) + 5\log(5)

machen lassen.  In diesem Fall benutzen wir nicht ``simplify_full()``, sondern
die ähnliche Funktion ``canonicalize_radical``::

    sage: log(10^5).canonicalize_radical()
    5*log(5) + 5*log(2)

Diese Gesetze können auch umgekehrt verwendet werden, wie in diesem Beispiel::

    sage: (5*log(2) + 5*log(5)).simplify_log()
    5*log(10)

Es geben weitere mögliche Vereinfachungen, die wir hier nicht weiter erwähnen.


Trigonometrie
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Winkelmass
----------

Im folgenden Abschnitt möchten wir uns einen Überblick über die Trigonometrischen Funktionen in Sage verschaffen. Es macht Sinn, zuerst zu betrachten, wie Sage mit Winkelmassen umgeht.

Grundsätzlich rechnet Sage immer im Bogenmass. Falls man ein Ergebnis im Gradmass erhalten oder ein Argument im Gradmass in eine Funktion eingeben möchte, muss man
dies immer von Hand konvertieren. Es gibt im Moment keine Möglichkeit, Sage so einzustellen, dass es allgemein im Gradmass
rechnet.

Im Moment bietet Sage hierzu nur das sehr rudimentäre ``units`` Paket, mit welchem man Werte mit einer Einheit versehen und anschliessend auch umrechnen kann. Dies ist sehr umständlich und vermutlich ist es einfacher, die Umrechnung von Hand
vorzunehmen, in dem man mit `\frac{\pi}{180^\circ}` respektive `\frac{180^\circ}{\pi}` multipliziert um vom Gradmass ins Bogenmass
respektive vom Bogenmass ins Gradmass zu konvertieren::

    sage: 45*(pi/180)
    1/4*pi

    sage: pi/3*(180/pi)
    60

Falls man dies viel benutzt, lohnt es sich natürlich, diese beiden Konvertierungen als Funktion abzuspeichern. Dies kann wie
erwartet mit den in früheren Kapiteln beschriebenen Funktionen geschehen::

    sage: deg2rad(x) = x*(pi/180)
    sage: rad2deg(x) = x*(180/pi)
    sage: deg2rad(45)
    1/4*pi
    sage: rad2deg(pi/3)
    60

In Zukunft wird diese Funktion vermutlich vom ``units`` Paket übernommen. Im Moment wird hier auf eine Dokumentation dieses
Pakets verzichtet, da es sich sehr schlecht mit den unten beschriebenen trigonometrischen Funktionen verträgt. Weitere Informationen finden sich in der Sage Dokumentation. [#units]_

Trigonometrische Funktionen
---------------------------

Wie oben beschrieben rechnen die trigonometrischen Funktionen in Sage nur im Bogenmass. Die Namen der in der Schule gebräuchlichen
trigonometrischen Funktionen sind wie erwartet ``sin()``, ``cos()``, ``tan()`` und ``cot()``. Diese können direkt benutzt werden,
falls wir im Bogenmass rechnen möchten. Ansonsten müssen wir wie oben beschrieben vom Gradmass in Bogenmass konvertieren::

    sage: cos(pi/6)
    1/2*sqrt(3)

    sage: deg2rad(x)= x*(pi/180)
    sage: sin(deg2rad(45))
    1/2*sqrt(2)
    sage: tan(deg2rad(-60))
    -sqrt(3)

Ihre Umkehrfunktionen sind auch mit den nicht sehr überraschenden Namen ``asin()``, ``acos()``, ``atan()`` und ``acot()`` versehen.
Sie geben uns aber wie oben erklärt nur Winkel im Bogenmass zurück. Möchten wir im Gradmass rechnen, müssen wir wieder
konvertieren. Die exakte Berechnung der Werte funktioniert in die Gegenrichtung nur, falls im ursprünglichen Wert keine
Wurzeln vorkommen::

    sage: atan(1)
    1/4*pi
    sage: acos(1/2)
    1/3*pi
    sage: rad2deg(x) = x*(180/pi)
    sage: rad2deg(acos(-1/2))
    120

Falls wir Wurzelterme verwenden, müssen wir mit der Funktion ``simplify_full()`` vereinfachen::

    sage: acos(sqrt(3)/2)
    arccos(1/2*sqrt(3))
    sage: (acos(sqrt(3)/2)).simplify_full()
    1/6*pi

Sage kann auch weitere Regeln für trigonometrische Funktionen anwenden, um Terme zu vereinfachen. Es kennt zum Beispiel auch die
Additionstheoreme::

    sage: var('x, y')
    (x, y)
    sage: (sin(x+y)).simplify_full()
    cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)
    sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
    1

Vektorgeometrie
===============

Ein Vektor in Sage kann mit dem Befehl ``vector()`` erstellt werden. Ihm
wird eine Liste der Komponenten als Argument übergeben::

    sage: vector([3,2,-1])
    (3, 2, -1)

Grundoperationen
----------------

Sage kennt die üblichen Vektoroperationen. Es werden die üblichen Zeichen ``+`` für
die Addition sowie ``*`` für die Multiplikation mit einem Skalar verwendet::

    sage: a = vector([3,2,-1])
    sage: b = vector([1,-2,2])
    sage: a + b
    (4, 0, 1)
    sage: 4 * b
    (4, -8, 8)
    sage: -b + 2*(a + b)
    (7, 2, 0)

Innerhalb eines Vektors können auch Parameter verwendet werden. Natürlich müssen auch
diese zuerst mit ``var()`` als solche deklariert werden::

    sage: var('vx, vy, vz')
    (vx, vy, vz)
    sage: v = vector([vx, vy, vz])
    sage: 2*v
    (2*vx, 2*vy, 2*vz)

Länge eines Vektors
-------------------

Die (euklidische) Länge eines Vektors wird mit dem Befehl ``norm()`` berechnet::

    sage: norm(vector([9,6,2]))
    11

Falls die Länge nicht ganzzahlig ist, wird natürlich auch ein vereinfachter
Term und kein numerischer Wert zurückgegeben::

   sage: norm(vector([2,6,2]))
   2*sqrt(11)


Skalar- und Vektorprodukt
-------------------------

Das *Skalarprodukt* wird mit der Funktion ``dot_product()`` berechnet. Diese ist
eine Methode der Vektor-Klasse. Sie wird also als Methode eines Vektors
ausgeführt, welcher der zweite Vektor übergeben wird::

    sage: v = vector([2,3,3])
    sage: w = vector([2,2,1])
    sage: v.dot_product(w)
    13

Da das Skalarprodukt kommutativ ist, spielt es natürlich keine Rolle, von welchem
Vektor aus wir die Methode aufrufen::

    sage: v = vector([2,3,3])
    sage: w = vector([2,2,1])
    sage: w.dot_product(v)
    13

Das Skalarprodukt kann auch als Multiplikation zweier Vektoren mit ``*`` geschrieben
werden::

    sage: v = vector([2,3,3])
    sage: w = vector([2,2,1])
    sage: v*w
    13

Es besteht hier aber Verwechslungsgefahr mit der Skalarmultiplikation. Es ist
Vorsicht geboten.

Das *Vektorprodukt* kann auf die gleiche Weise mit ``cross_product()`` berechnet werden.
Hier ist es natürlich relevant, von welchem Vektor aus die Methode ausgeführt
wird, da das Vektorprodukt antikommutativ ist.

Wollen wir für zwei Vektoren `\vec{v}` und `\vec{w}` das Produkt
`\vec{v} \times \vec{w}` berechnen, wird die Methode von `\vec{v}` aus ausgeführt
und vice versa::

    sage: v = vector([2,3,3])
    sage: w = vector([2,2,1])
    sage: v.cross_product(w)
    (-3, 4, -2)
    sage: w.cross_product(v)
    (3, -4, 2)

.. Hier wäre ein Abschnitt über das Lösen von Vektorgleichungen spannend, etwa um den Schnittpunkt
   einer Geraden mit einer Ebene zu finden. Doch es scheint, dass Sage dies im Moment nicht
   unterstützt.

Vektoren grafisch darstellen
----------------------------

Sage kann Vektoren nicht direkt graphisch darstellen. Das 2D Graphikmodul [#2dgraphics]_ kann jedoch Pfeile
darstellen, welche sehr gut geeignet sind, um zweidimensionale Vektorrechnungen zu veranschaulichen.

Die Funktion ``arrow()`` erstellt einen Pfeil. Da wir keine Vektoren sondern Pfeile darstellen,
müssen wir immer einen Anfangspunkt und einen Endpunkt angeben. Mit der Option ``color`` können wir die Farbe
des Pfeils festlegen. Die erstellten Pfeile können anschliessend mit dem uns schon bekannten Befehl
``plot()`` dargestellt werden.

Die Addition von Vektoren könnte also zum Beispiel wie folgt veranschaulicht werden::

    sage: v1 = arrow((0,0), (3,4))
    sage: v2 = arrow((3,4), (6,1))
    sage: sum_v1_v2 = arrow((0,0), (6,1), color='red')
    sage: v1 + v2 + sum_v1_v2
    Graphics object consisting of 3 graphics primitives

Falls die Vektorpfeile zu dick oder zu dünn sind, kann mit der ``width`` Option die Strichbreite angepasst werden.
Der Plot-Befehl besitzt eine ``gridlines`` option, welche wir auf ``true`` setzen können, falls Gitternetzlinien
in der Grafik erwünscht sind::

    sage: v1 = arrow((0,0), (3,4), width=5)
    sage: v2 = arrow((3,4), (6,1), width=5)
    sage: sum_v1_v2 = arrow((0,0), (6,1), color='red', width=6)
    sage: G = v1 + v2 + sum_v1_v2
    sage: G.show(gridlines=true)

Analysis
========

Folgen und Reihen
-----------------

In der gymnasialen Mathematik werden oft Folgen betrachtet. Diese sind grundsätzlich
Funktionen von der Menge der natürlichen auf die reellen Zahlen. Sage hat einige
Funktionen, um mit Zahlenmengen zu arbeiten. Diese sind aber für unsere Zwecke ungeeignet.

Es ist einfacher, Folgen als Funktion zu definieren und um zu verdeutlichen, dass
wir diese als Folge benutzen möchten, die Variable mit `n` zu benennen. So speichern wir die
Folge

.. math:: a_n = \frac{1}{n^2}

in Sage als::

    sage: a(n) = 1/n^2

Um nun Elemente der dazugehörigen Reihe (d.h. die Folge der Teilsummen) zu berechnen, können wir
den Befehl ``sum()`` benutzen. Die Summe

.. math:: s_6 = \sum_{k=1}^{6}a_k = \sum_{k=1}^{6}\frac{1}{k^2}

wird in Sage mit::

    sage: var('k')
    k
    sage: a(n) = 1/n^2
    sage: sum(a(k), k, 1, 6)
    5369/3600

berechnet. Allgemein wird die Summe

.. math:: \sum_{k=a}^{b}\text{Ausdruck}

mit ``sum(Ausdruck, k, a, b)`` berechnet. Wir können also die Reihe als Folge von Teilsummen
in Sage wieder als Funktion speichern::

    sage: var('k')
    k
    sage: a(n) = n^2
    sage: s(n) = sum(a(k), k, 1, n)
    sage: s
    n |--> 1/3*n^3 + 1/2*n^2 + 1/6*n
    sage: s(6)
    91

Folgen und Reihen graphisch darstellen
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sage kennt die Funktion ``scatter_plot()`` welcher eine Liste von Tupeln
der Form ``(x, y)`` übergeben wird. [#scatterplot]_ Diese werden anschliessen als Punkte
dargestellt. Leider können wir dem Befehl aber keine Funktion der Form `a_n = \frac{1}{n^2}`
übergeben.

Wir müssen also eine Liste von Punkten generieren, welche wir gerne darstellen möchten. Dazu können
wir sogenannte Python List Comprehensions [#listcomp]_ benutzen, um die Liste zu generieren::

    sage: a(n) = 1/n^2
    sage: punkte = [(n, a(n)) for n in range(1,10)]
    sage: scatter_plot(punkte)
    Graphics object consisting of 1 graphics primitive


Mit den Funktion ``range()`` geben wir an, welchen Bereich wir gerne darstellen möchten. Dabei wird
immer die letzte Zahl ausgeschlossen. Im obigen Beispiel werden also Punkte für `n \in \{1, \dots, 9\}`
dargestellt.

Wie im Abschnitt über das Darstellen von Funktionsgraphen können wir auch diese Plots kombinieren und
so zum Beispiel auch den Plot der Funktion ``a(n)`` hinter die Punkte legen, um die Tendenz der Folge
darzustellen::

    sage: a(n) = 1/n^2
    sage: points = [(n, a(n)) for n in range(1,6)]
    sage: plot1 = scatter_plot(points)
    sage: plot2 = plot(a(x), xmin=1, xmax=5.4)
    sage: plot(plot1 + plot2)
    Graphics object consisting of 2 graphics primitives


Grenzwerte
----------

Sage kann sowohl Grenzwerte berechnen, bei welchen eine Variable gegen
`\infty` oder `-\infty` strebt, sowie Grenzwerte an einer bestimmten Stelle.

So können wir zum Beispiel den Grenzwert

.. math:: \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}

wie folgt berechnen::

    sage: var('x')
    x
    sage: ((2*x+1)/x).limit(x=oo)
    2
    sage: (1/x).limit(x=-oo)
    0

Wie schon bei Stückweise definierten Funktion erklärt wird für `\infty` zweimal der Kleinbuchstaben "o"
also ``oo`` und für `-\infty`  entsprechend ``-oo`` benutzt.

Grenzwerte an einer bestimmten Stelle werden genauso berechnet. Der Grenzwert

.. math:: \lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)}

kann wie folgt berechnet werden::

    sage: var('x')
    x
    sage: term = (x + 2)*(x-3)/(x + 2)
    sage: term.limit(x=-2)
    -5

In beiden Beispielen darf nicht vergessen werden, die Variable zuerst als
solche zu definieren. Falls wir den links- und den rechtsseitigen Grenzwert
einzeln berechnen wollen, können wir die Option ``dir`` verwenden::

    sage: var('x')
    x
    sage: term = (x^2 + 1)/(x-1)
    sage: term.limit(x=1)
    Infinity
    sage: term.limit(x=1, dir='+')
    +Infinity
    sage: term.limit(x=1, dir='-')
    -Infinity

Wir sehen, dass das Ergebnis ``Infinity`` unbestimmt ist. Es ist nicht klar,
ob `+\infty` oder `-\infty` gemeint ist. Erst wenn wir die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte analysieren wird klar, in welchem Fall der Wert gegen `+\infty` respektive
`-\infty` strebt.

Möchte man den Grenzwert einer Summe berechnen, kann man dies direkt mit der Summenfunktion
berechnen. Möchten wir zum Beispiel den Grenzwert

.. math:: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}

berechnen, tun wir dies in Sage wie folgt::

    sage: var('k')
    k
    sage: sum(1/k^2, k, 1, oo)
    1/6*pi^2


Differenzial- und Integralrechnung
-----------------------------------------

Die Ableitung und das unbestimmte Integral (d.h. die Stammfunktion) einer
Funktion `f(x)` wird in Sage mit den Funktionen ``diff()`` und ``integral()``
berechnet. Wir können sowohl Funktionen sowie symbolische Ausdrücke integrieren und
differenzieren. Funktionen können ohne Angabe einer Variable differenziert werden, es
wird nach der durch die Funktionsdefinition gebundenen Variable differenziert.
Da Sage Funktionen in mehreren Unbekannten zulässt, müssen wir bei der Integration
die Integrationsvariable immer angeben.

Bei einem symbolischen Ausdruck muss die Variable, nach welcher differenziert oder integriert
wird, auf jeden Fall angegeben werden, da mehrere freie Variablen vorkommen können und keine
davon durch die Funktionsschreibweise gebunden ist.

Ableiten und integrieren einer Funktion in Sage::

    sage: f(x) = x^2
    sage: f.diff()
    x |--> 2*x
    sage: f.integral(x)
    x |--> 1/3*x^3

Wie wir sehen, erhalten wir beim Ableiten und Integrieren einer Funktion die Ableitungs-
bzw. eine Stammfunktion wiederum als Sage-Funktionen zurück. Wie in Computer-Algebra-Systemen
üblich wird die Stammfunktion ohne eine addierte Konstante zurückgegeben.

Im Folgenden leiten wir keine Funktionen, sondern symbolische Ausdrücke ab. Das heisst,
dass wir den Funktionen ``integrate()`` und ``diff()`` als erstes Argument die Variable
übergeben, nach der wir integrieren respektive ableiten wollen::

    sage: var('x, t')
    (x, t)
    sage: sin(x).diff(x)
    cos(x)
    sage: sin(x).diff(t)
    0
    sage: sin(x).integral(x)
    -cos(x)
    sage: (e^(2*t^2+1)).diff(t)
    4*t*e^(2*t^2 + 1)

Bestimmtes Integral
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Die Funktion ``integral()`` berechnet in Sage auch bestimmte Integrale. Dazu werden die
Integrationsgrenzen als weitere Argumente übergeben. Ein Integral der Form:

.. math:: \int_{a}^{b}{f(x) \text{d}x}

wird in Sage mit ``f.integral(x, a, b)`` berechnet. Auch hier gilt die Regel, dass die
Integrationsvariable nur angegeben werden muss, falls es sich bei ``f`` um einen
symbolischen Ausdruck handelt::

    sage: var('t')
    t
    sage: f(x) = sqrt(4 - x^2)
    sage: f.integral(x, -2, 2)
    2*pi
    sage: sin(t).integral(t, 0, pi)
    2

Stochastik
==========

Neben den Grundoperationen ist die in der Stochastik am häufigsten
benutzte Funktion die Fakultät. Für eine Zahl `n \in \mathbb{N}` ist
dies definiert als

.. math:: n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1

Sage berechnet dies mit der Funktion ``factorial()``. Im Folgenden wird
die Fakultät von 5 berechnet::

    sage: factorial(5)
    120

Sage kann mit Fakultäten auch symbolisch rechnen. Die Terme müssen
aber mit der ``simplify_full()`` Funktion vereinfacht werden::

    sage: var('n')
    n
    sage: (factorial(n)/factorial(n-2)).simplify_full()
    n^2 - n


Binomialkoeffizienten
---------------------

Um die Anzahl Möglichkeiten zu berechnen, mit denen wir eine Teilmenge
mit `r` Elementen aus einer `n` elementigen Menge wählen können,
benötigen wir den Binomialkoeffizienten. Dieser ist definiert als

.. math:: \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!n!}

Diese Berechnung wird mit der Funktion ``binomial()`` ausgewertet,
wobei diese die beiden Argumente `n` und `r` übernimmt::

    sage: binomial(10, 7)
    120

Auch Terme, welche die ``binomial()`` Funktion benutzen können mit
``simplify_full()`` vereinfacht werden::

    sage: var('n, r')
    (n, r)
    sage: (binomial(n,r)*factorial(r)).simplify_full()
    factorial(n)/factorial(n - r)

Verschiedene nützliche Funktionen
==================================

Im folgenden Abschnitt sind einige nützliche Funktionen aufgeführt, welche bisher in keinem
Kapitel dieser Anleitung sinnvoll untergebracht werden konnten.

Die Funktionen ``gcd()`` und ``lcm()`` können benutzt werden, um den **grössten gemeinsamen Teiler** respektive
das **kleinste gemeinsame Vielfache** zweier Zahlen zu finden::

    sage: gcd(124, 56)
    4
    sage: lcm(21, 15)
    105

Für das Aufstellen von Aufgaben ist es oft nützlich, **Primzahlen** zu finden. Wir können uns mit dem Befehl ``prime_range()``
einen ganzen Bereich von Primzahlen zwischen zwei Grenzen zurückgeben lassen::

    sage: prime_range(1050, 1100)
    [1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097]

Wissen wir genau, oberhalb oder unterhalb welcher Zahl wir eine Primzahl benötigen, können wir mit ``next_prime()``
die nächst grössere Primzahl sowie mit ``previous_prime()`` die nächst kleinere Primzahl bestimmen::

    sage: next_prime(1050)
    1051
    sage: previous_prime(1100)
    1097

Mit ``factor()`` können wir eine Zahl in ihre **Primfaktoren** zerlegen. Sind wir an allen Teilern einer Zahl interessiert,
benutzen wir ``divisors()``::

    sage: factor(156)
    2^2 * 3 * 13
    sage: divisors(156)
    [1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156]



Weiterführende Links und Literatur
==================================

Das folgende Tutorial erklärt (auf englisch) wie Sage als einfacher Rechner benutzt werden kann. Hier
finden sich auch viele Funktionen und Beispiele, welche für unsere Zwecke interessant sind.

* http://www-rohan.sdsu.edu/~mosulliv/sagetutorial/sagecalc.html

Die offizielle deutsche Dokumentation von Sage ist noch im Aufbau und weit entfernt von einer
vollständigen Dokumentation. Das Einführungstutorial ist jedoch auch auf deutsch verfügbar. Die offizielle
Seite der deutschen Version von Sage findet sich hier:

* http://www.sagemath.org/de/


.. rubric:: Footnotes

.. [#keywords] http://docs.python.org/2/reference/lexical_analysis.html#keywords
.. [#tutorial] http://doc.sagemath.org/html/de/tutorial/
.. [#units] http://doc.sagemath.org/html/en/reference/calculus/sage/symbolic/units.html
.. [#2dgraphics] http://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/index.html
.. [#scatterplot] http://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/sage/plot/scatter_plot.html
.. [#listcomp] http://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html#list-comprehensions
